Wprowadzenie.

Kiedy Heloiza i Abelard, jedna z najbardziej znanych par kochanków, zdecydowali się nadać swojemu synowi imię "Astrolabe" (Astrolabium) stało się jasne, że wpływowymi kręgami XII wiecznej Europy w pełni zawładnęła już moda na przyrząd będący ucieleśnieniem piękna, niosący w sobie powiew niezwykłości i tajemnicę tradycji arabskiej - moda na astrolabium. Przedmiot niewielki, o ogromnych jednak możliwościach, a przede wszystkim ogromnej sile oddziaływania na umysły ludzkie.

Historia powstania przyrządu jest nie do końca jasna. Nie możemy określić ani konkretnej daty powstania, ani jednej, konkretnej osoby, którą można by uznać za odkrywcę astrolabium.

Astrolabium - podstawowa zasada teoretyczna

Podstawowa zasada teoretyczna, na której opiera się działanie przyrządu -  projekcja stereograficzna -  znana była już prawdopodobnie Hipparchowi ok. 150 lat p.n.e. Z całą pewnością świadomie posługiwano się tym rodzajem projekcji w Rzymie na początku naszej ery. Około 27 roku n.e. Witruwiusz, architekt rzymski, w swoim dziele "O architekturze" opisał pewien specyficzny rodzaj zegara, w budowie którego najprawdopodobniej wykorzystano właśnie ten typ projekcji. Autor nie wdaje się w szczegóły techniczne co pozwala przypuszczać, że przyrządy takie i sama projekcja stereograficzna nie były obce jego czytelnikom.

Projekcja stereograficzna - specyficzny rodzaj projekcji, w naszym przypadku obrazu sfery niebieskiej, na płaszczyznę. Projekcja stereograficzna  doskonale nadaje się do wykorzystania w astronomii z dwóch zasadniczych powodów.  Wszystkie koła sfery niebieskiej po przeniesieniu na płaszczyznę pozostają kołami.  Wszystkie kąty pozostają zachowane.

Dokładny opis projekcji stereograficznej dał w 160 roku naszej ery Ptolemeusz w swoim "Planisphaerium". Jest to pierwsze, znane nam, kompletne, matematyczne ujęcie problemu tego rodzaju projekcji. Niestety do naszych czasów nie zachował się oryginalny, grecki tekst. Wszystko co pozostało to arabskie tłumaczenia datowane na mniej więcej 1000 rok naszej ery oraz przekład łaciński wersji arabskiej pochodzący mniej więcej z 1143 roku. Wydaje się, że brak w tych przekładach końcówki pracy Ptolemeusza, która mogła zawierać dokładniejsze informacje o ciekawym, przypominającym astrolabium, przyrządzie wspominanym tylko pobieżnie w znanych nam fragmentach. Posiadane materiały pozwalają jednak przypuszczać, że mimo wielu cech wspólnych nie było to astrolabium w naszym rozumieniu - chociażby z tego powodu, że przyrząd nie posiadał wszystkich elementów w jakie wyposażone są znane nam astrolabia.

można doszukać się w czwartym wieku naszej ery. Wszystko zawdzięczamy wiedzy i dociekliwości Theona z Aleksandrii, ostatniego dyrektora słynnej biblioteki aleksandryjskiej, który wraz ze swoją córką Hypatią z zapałem poświęcał się tłumaczeniom i edycji dzieł wielkich matematyków. Jest on autorem m.in. "Traktatu na temat małego astrolabium" - pierwszej znanej nam pracy w pełni opisującej przyrząd. Niestety także to dzieło nie przetrwało do naszych czasów, o jego istnieniu wiemy tylko dzięki wzmiankom w bibliografiach późniejszych tekstów, przede wszystkim pisanej po grecku, pochodzącej mniej więcej z 530 roku n.e., książki autorstwa Jana Filopona oraz pisanego po Syryjsku, pochodzącego sprzed 660 roku n.e., opracowania autorstwa Severusa Sebokhta.

Pierwszy kontakt naukowców arabskich z greckimi dziełami następował zwykle za pośrednictwem języka syryjskiego, tak więc i pierwsze prace arabskie były tylko tłumaczeniami syryjskich opracowań bazujących z kolei na źródłach greckich. Z czasem Arabowie zaczęli sami tłumaczyć bezpośrednio z języka greckiego, aby już wkrótce tworzyć opracowania we własnym języku. Pierwszym autorskie prace arabskie na temat astrolabium powstały prawdopodobnie w VII wieku naszej ery. Pierwszym uczonym arabskim, który skonstruował astrolabium był najprawdopodobniej niejaki Al-Farāzi.

Astrolabium - rozkwit zainteresowania

Dziewiąty i dziesiąty wiek naszej ery to prawdziwy rozkwit zainteresowania przyrządem wśród Arabów. Oprócz opracowań teoretycznych powstają prawdziwe centra produkujące przyrządy, tradycja ich wytwarzania przechodzi z ojca na syna i niesie już wraz z sobą ogromny prestiż.

Michael 'Czarodziej" Scot

Z papieżem tym wiąże się interesująca anegdota. Otóż nie mniej sławny naukowiec, awanturnik i czarodziej (trudno stwierdzić które z tych określeń opisuje do najdokładniej) Michael Scot twierdził, że swoją wiedzę na temat astrolabium Gerbert zdobył od ...diabła, którego miał regularnie przywoływać i zmuszać do udzielania sobie lekcji. Wszystkie te szatańskie nauki przyszły papież miał zapisywać, analizować i później podawać jako swoje.

Michael Scot sam w sobie był bardzo barwną postacią, której znacznie było bliżej do diabła niż Gerbertowi. Gruntownie wykształcony pełnił funkcję nadwornego filozofa i naukowca na dworze Fryderyka II. W XIII wieku pisma Scota były szeroko znane i omawiane w całej Europie. Olbrzymie zaangażowanie nie tylko w astronomię, ale także w medycynę, astrologię i alchemię sprawiło że uzyskał miano "czarodzieja". Zasłynął między innymi z tego, że trafnie przewidział wynik wojny lombardzkiej (prawdopodobnie przy pomocy astrolabium). Udało mu się także pozbawić swojego króla kilku dolegliwych schorzeń, czym zyskał sobie przychylność władcy. Uchodził za osobę bardzo sprytną. Przy którejś okazji król poprosił go na przykład o zmierzenie odległości pomiędzy szczytem wieży kościelnej a niebem. Zadanie to Scot wykonał z należytą sobie poprawnością. Władca polecił wtedy w sekrecie skrócić wieżę o kilka cali i zadał ponownie pytanie naukowcowi. Scot wyczuł intencje władcy i dyplomatycznie odparł, że albo niebo oddaliło się od ziemi albo coś sprawiło, że wieża kościelna zmalała.

Pozostawmy jednak barwne biografie bohaterów związanych z historią astrolabium i powróćmy do nie mniej interesującej historii samego przyrządu.

Od X wieku moda na astrolabium bardzo szybko rozprzestrzenia się po Europie. Przyrząd szturmem zdobywa uniwersytety, stając się powszechnie uznanym narzędziem służącym zarówno prowadzeniu badań jak i edukacji studentów. Uważany jest już także za symboliczny atrybut naukowców, którzy na większości rysunków i grafik zaczęli pojawiać się właśnie z astrolabium w ręce. Rozprawy na temat sposobów wykorzystania przyrządu coraz częściej pojawiały się w uniwersyteckich bibliotekach. Co ciekawe, w niektórych z nich można było wypożyczyć także samo astrolabium.

Z czasem przyrząd trafia także na dwory królewskie, dając władcom okazję do zademonstrowania zainteresowań naukowych, mecenatu nauki i sztuki, a także erudycji i dobrego gustu posiadacza.

Karol V Mądry (1337-1380), król Francji, tak pokochał przyrząd, że uważał za stosowne posiadanie ok. 12 egzemplarzy, wliczając w to jeden złoty i dwa srebrne.

Także brytyjska królowa Elżbieta I, skłoniona przypuszczalnie namową swojego astrologa Johna Dee, posiadała dwa astrolabia.

Ekspedycja Vasco da Gamy została wyposażona w przyrząd dostarczony przez Abrahama Zacuto - profesora uniwersytetów w Salamance i Saragossie. Zacutto przeszkolił także załogę w zakresie jego obsługi oraz, co ciekawe, przy pomocy astrolabium, ulubionego już przyrządu astrologów, zmuszony został do przepowiedzenia rezultatu ekspedycji.

Wraz z rosnącą popularnością astrolabium zaczęło pojawiać się coraz częściej na obrazach, drzeworytach, ilustracjach i rzeźbach. Tam mogli zobaczyć je ludzie prości i ubodzy, i co niesamowite  fascynacja przyrządem zeszła w dół drabiny społecznej. Już nie tylko najbogatsi chcieli posiadać przyrząd, także warstwy biedniejsze zaczęły doceniać jego wartość. Trudno oczywiście zakładać, że zawsze chodziło o jego wartość naukową. Wielu badaczy zdaje się nawet sugerować, że astrolabia tak naprawdę bardzo rzadko używane były do celów dla jakich zostały stworzone. Prawda, jak to zwykle z nią bywa, leży gdzieś po środku.

Odpowiedzią na olbrzymie zapotrzebowanie społeczne stała się duża liczba opracowań na temat tego w jaki sposób wykonać samodzielnie przyrząd oraz, co oczywiste, prawdziwy rozkwit w XV i XVI wieku zakładów rzemieślniczych wytwarzających przyrząd. Do najbardziej znanych europejskich wytwórców przyrządów należeli Jean Fusoris z Paryża, Gemma Frisius i Gualterus Arsenius z Louvain czy też Georg Hartmann z Norymbergii.

Astrolabium fascynowało nie tylko elity, ale także biedniejsze warstwy społeczne. Dzięki powszechności i dużej ilości opracowań na temat sposobów wykonania przyrządu wiele osób wykonywało je samodzielnie. Niestety bardzo często nie były to przyrządy dokładne. Dlatego stało się coś bardzo ciekawego i wartego zauważenia. Największe i najbardziej znane zakłady rzemieślnicze, wytwarzające do tej pory ekskluzywne przyrządy dla najbogatszych, zaczęły wytwarzać uproszczone, papierowe zestawy do samodzielnego złożenia. Kupowało się arkusz z nadrukowanym obrazem przyrządu, wycinało i naklejało np. na odpowiednio wycięta deseczkę. To chyba doskonały dowód na popularność przyrządu w tamtych czasach.

Astrolabium to jeden z najstarszych i najbardziej fascynujących przyrządów astronomicznych. Jest on charakterystyczny przede wszystkim dla tradycji arabskiej, choć wspaniałe triumfy święcił także w Europie. Do czasów obecnych przetrwało więcej astrolabiów niż jakichkolwiek innych przyrządów naukowych.

Trudno w kilku słowach oddać to czym tak naprawdę jest astrolabium. Olbrzymia ilość zastosowań, a także znaczeń i emocji związanych z przyrządem znakomicie utrudniają to zadanie. Astrolabium to:

• Przede wszystkim starożytny komputer, przy pomocy którego z powodzeniem można rozwiązać większość problemów związanych z określaniem czasu, a także pozycją Słońca i gwiazd.
• To także miniatura nieba, którą możesz trzymać w swoim ręku. Przyrząd pokazuje wygląd nieba w dowolnym dniu i czasie, pozwalając odszukać pozycje zaznaczonych na rete obiektów.
• Astrolabium to również przyrząd pomiarowy (wysokość obiektów, pomiary kartograficzne)
• oraz .. źródło wiedzy, także tej o przyszłości.Pamiętajmy bowiem, że astrologia odkryła przyrząd jako wielce przydatny m.in. do przewidywania przyszłości oraz stawiania horoskopów.
• Astrolabium znakomicie prezentuje się także jako stylowa ozdoba, a co za tym idzie może pełnić rolę pięknego prezentu.
• Już tylko jako ciekawostkę dodajmy, że przyrząd wykorzystywano także m.in. do określania rozmiarów nieprzyjacielskich armii oraz do ... przywoływania złych duchów.

Biorąc pod uwagę ogromny obszar, na którym wytwarzano i używano astrolabium, ogromną liczbę zastosowań, a także wprowadzane tu i ówdzie usprawnienia, nie należy się dziwić, że przyrząd może występować w różnych wariantach, różniących się kształtem, rozmiarem, zdobieniami etc. Niezależnie jednak od zdolności i fantazji wykonawcy, który mógł sprawić że tworzone instrumenty wyróżniały się szczególnymi cechami, w każdym przyrządzie możemy wyróżnić grupę tych samych, łatwo rozpoznawalnych elementów.

Przyrząd, wykonywany z reguły z mosiądzu, składa się z grupy elementów nieruchomych oraz ruchomych, którymi można obracać względem osi wyznaczonej przez bolec łączący wszystkie części przyrządu. Astrolabium jest z reguły przyrządem rozkładanym. Ma to służyć przede wszystkim możliwości podmiany tych elementów przyrządu, których wygląd zmienia się wraz ze zmianą położenia (szerokości geograficznej) użytkownika. Dzięki temu staje się narzędziem uniwersalnym. Wszystkie podstawowe elementy w centralnej części posiadają otwór, przez który przechodzi bolec łączący całość. Na swoim końcu bolec ten bardzo często posiada otworek, w który po złożeniu przyrządu wsuwa się swego rodzaju klin, bardzo często w kształcie głowy konia (stąd nazwa tego elementu), który zapobiega rozłożeniu się przyrządu.

Rys.2. Elementy astrolabium po rozłożeniu

Mater - podstawowa część przyrządu, stanowiąca swego rodzaju bazę, na której mocowane są inne elementy. Jest to płytka metalu, o grubości ok. 6 mm i średnicy najczęściej w granicach 15-20 cm, z zawiniętym do wewnątrz brzegiem zwanym limbum. Na brzegu tym mogą być nanoszone różne skale, z reguły jest to przynajmniej skala godzinna. W zagłębieniu tworzonym przez limbum umieszczany jest właściwy dla danej szerokości geograficznej tympan (tympanum). Spodnia strona mater zwana jest dorsum. Grawerowane są na niej różne dodatkowe skale, w zależności od zastosowania przyrządu (o dorsum czytaj w dalszej części). Po stronie dorsum mocowana jest także alidada (alidade). W górnej części mater znajduje się uchwyt do trzymania przyrządu.

Rys. 3. Przykład mater

Tympanum (tympan) - wymienne płytki z litego metalu, które układano, często jedna na drugiej, aż wypełniły całe wgłębienie utworzone przez limbum. Na obu stronach każdej płytki grawerowano, dla odpowiednich szerokości geograficznych, rzut stereograficzny (patrz ramka) horyzontu, zenitu, almukantaratów (małe koła na sferze niebieskiej, leżące w płaszczyznach równoległych do płaszczyzny horyzontu) oraz kół deklinacji. Mówiąc prościej, wspomniane punkty i koła sfery niebieskiej zostają po prostu w pewien specyficzny sposób zrzutowane na płaszczyznę. Dzięki takiemu zabiegowi astrolabium staje się miniaturą otaczającego Cię wszechświata.

 Do pełnego obrazu potrzebujemy jeszcze tego co najpiękniejsze - gwiazd i innych obiektów nocnego nieba. Takim obrazem, dopełniającym całości jest rete.

Rys. 4. Podstawowe linie grawerowane na tympanie

Rys. 5. Tympanum pochodzące z astrolabium arabskiego

Rete (pajęczyna, mapa nieba) - ażurowa płytka przedstawiająca mapę nieba. W zależności od przeznaczenia przyrządu, a także zdolności wykonawcy może być mniej lub bardziej dokładna oraz zdobiona. Oprócz podstawowych gwiazd i gwiazdozbiorów na tej części przyrządu zaznaczona jest także ekliptyka (pozorna droga słońca na sferze niebieskiej) wraz ze znakami zodiaku. Rete nie jest niczym innym jak rzutem na płaszczyznę sfery niebieskiej. Wyobraź sobie lusterko, które leży w nocy na ziemi. W lusterku tym odbijają się gwiazdy i gwiazdozbiory. Rete jest takim właśnie lusterkiem, w którym możesz dostrzec najważniejsze gwiazdy nocnego nieba. Ze względu na to, że płytka rete musi w jak największym stopniu odsłaniać tympan nie zawiera ona obrazu całego nieba. Nanoszone są na nią tylko najważniejsze gwiazdy i gwiazdozbiory.

Alidade (alidada) - znajdujące się w tylnej części przyrządu ruchome ramię służące przede wszystkim określaniu wysokości kątowej ciał niebieskich. Na swoich końcach wyposażona najczęściej w specjalne celowniki otworkowe lub szczelinowe, które umożliwiają precyzyjne jej ustawienie, a następnie odczytanie wysokości kątowej szukanego obiektu na krawędzi dorsum. Alidada służy także jako wskaźnik ułatwia-jący odczytanie informacji zawartych na pozostałych skalach dorsum.

Dorsum - spodnia część mater. W zależności od zastosowań przyrządu nanoszone mogą być na nią bardzo różne informacje. Na pewno znajdziesz tam podziałkę kątową, prawie na pewno skalę z kalendarzem i znakami zodiaku. Bardzo często grawerowany jest też tzw. "kwadrat cienia", służący rozwiązywaniu prostych problemów trygonometrycznych.

Rys. 7. Elementy dorsum na pięknym przykładzie współczesnej repliki przyrządu

Jak już wspominałem  liczba zastosowań przyrządu jest ogromna i trudno wymienić wszystkie problemy (astronomiczne, astrologiczne czy też inne pomiarowe ) jakie można rozwiązać przy jego pomocy. Cały sekret wykorzystania astrolabium polega na dokładnym zrozumieniu, że przyrząd jest dokładnym obrazem sfery niebieskiej oraz umiejętności wizualizacji roli poszczególnych części astrolabium. W momencie, w którym patrząc na przyrząd zobaczysz sferę niebieską będziesz gotowy do tego, aby samodzielnie wymyślać nowe problemy i rozwiązywać je.

Ekliptyka to droga słońca na sferze niebieskiej. Jest to pas nieba po którym porusza się nasza dzienna gwiazda w trakcie swojej rocznej wędrówki. Podzielony jest na 12 części znanych jako znaki zodiaku. Przy pomocy astrolabium, w bardzo prosty sposób, jesteśmy w stanie dokładnie określić w jakim znaku znajduje się Słońce danego dnia.

Rozwiązanie: W celu rozwiązania problemu wykorzystujemy tylną część przyrządu, czyli dorsum. Ustaw alidadę w taki sposób, aby jej wewnętrzna krawędź wskazywała poszukiwaną datę (10 lipca) na skali kalendarza. Kiedy już to zrobisz odczytaj po prostu szukaną informację z punktu przecięcia alidady ze skalą zodiaku. W naszym przykładzie widać, że w dniu 10 lipca słońce jest ok. 19 stopni w znaku raka.

Rozwiązanie: Pierwszą rzeczą jaka musisz zrobić to określenie pozycji słońca na ekliptyce. Z poprzedniego przykładu wiesz już w jaki sposób uzyskać tę informację. Korzystając teraz z frontowej części przyrządu, obracając rete ustaw je w taki sposób, aby odpowiednie miejsce na ekliptyce (miejsce w którym znajduje się słońce danego dnia) znalazło się na wschodniej linii horyzontu, zaznaczonego na używanym aktualnie tympanie. Wystarczy teraz że przesuniesz, znajdujący się w przedniej części przyrządu, wskaźnik tak, aby jego krawędź przechodziła przez punkt przecięcia ekliptyki z horyzontem i na przecięciu krawędzi wskaźnika ze skalą godzinną możesz już odczytać godzinę. Dokładnie w ten sam sposób przebiega określenie godziny zachodu Słońca. Tyle tylko, że odpowiednie miejsce na ekliptyce powinno przeciąć horyzont po zachodniej stronie. Przy okazji możesz łatwo sprawdzić w jakim punkcie horyzontu wzejdzie i zajdzie nasza dzienna gwiazda.

Uwaga: W ten sam sposób określisz miejsca, a także godziny wschodu i zachodu gwiazd, które zostały oznaczone na rete. Oczywiście na linii horyzontu powinna się w takim przypadku znaleźć nie ekliptyka, ale po prostu poszukiwana gwiazda.

Jeśli przyjdzie ci do głowy sprawdzić na jakiej wysokości znajdzie się słońce w momencie swojego górowania (południe) to oczywiście, w bardzo prosty sposób, zrobisz to właśnie przy pomocy astrolabium.

Rozwiązanie: Punktem wyjścia, jak w poprzednich przykładach, jest określenie w którym miejscu na ekliptyce znajduje się aktualnie nasza gwiazda. Posługując się następnie frontową stroną przyrządu ustawiamy odpowiedni punkt na ekliptyce w taki sposób, aby znalazł się on na linii południka lokalnego. Kiedy już to zrobisz wystarczy odczytać wysokość, posługując się w tym celu siatką równoleżników naniesioną na tympan.

Jest to jedno z zadań obserwacyjnych i pomiarowych do których najczęściej wykorzystuje się astrolabium. Elementem wykorzystywanym przy tego rodzaju zadaniach jest alidada (wyposażona bardzo często w odpowiednie "celowniki") oraz krawędź dorsum z naniesioną podziałką kątową. Pomiary wysokości obiektów na niebie umożliwiają m.in. określenie aktualnej godziny (zarówno w ciągu dnia, jak i nocy)

Rozwiązanie: Pomiar wysokości słońca nad horyzontem odbywa się w taki sam sposób, z jednym wyjątkiem.

W żadnym razie nie wolno patrzeć na Słońce nieuzbrojonym okiem - można w ten sposób poważnie uszkodzić sobie wzrok !!!

Dlatego też w tym przypadku stosuje się metodę projekcji. Podobnie jak w poprzednim przykładzie także i teraz przytrzymaj przyrząd za uchwyt i skieruj krawędzią w kierunku słońca. Ustaw następnie alidadę w taki sposób, aby cień rzucany przez bliższy słońcu celownik padał na przeciwległy celownik oraz, aby plamka światła przedostająca się przez otwór w pierwszym celowniku padała na otwór w celowniku znajdującym się bliżej ciebie. W momencie odpowiedniego ustawienia alidady możesz odczytać wysokość korzystając, tak jak poprzednio, ze skali kątowej na dorsum.

Problem: Określ godzinę w dniu 10 lipca wiedząc z wcześniejszego pomiaru, że słońce znajduje się 30° nad horyzontem.

Rozwiązanie: Na początku, tak jak zwykle, znajdź miejsce na ekliptyce, w którym znajduje się słońce. Kiedy już to określisz, ustaw rete w taki sposób, aby odpowiednie miejsce na ekliptyce znalazło się na odpowiednim równoleżniku (w naszym przykładzie 30°) naniesionym na tympanie. Jeśli pomiaru dokonujesz przed południem powinna to być wschodnia strona południka, jeżeli jest po południu - zachodnia. Poprowadź teraz krawędź wskaźnika przez właściwy punkt na ekliptyce i na odpowiedniej skali odczytaj godzinę.

Rozwiązanie: Przede wszystkim będziesz musiał znać pozycję słońca na ekliptyce. Następnie ustaw rete w taki sposób, aby Vega znalazła się nad odpowiednim równoleżnikiem naniesionym na tympanie (20°). Przytrzymując teraz rete w tej pozycji ustaw wskaźnik w taki sposób, aby przechodził przez miejsce na ekliptyce odpowiadające pozycji słońca w szukanym dniu. Z przecięcia wskaźnika z odpowiednią skalą godzinną odczytasz godzinę.

Uwaga: Wysokość gwiazd, podobnie jak wysokość słońca, zmienia się bardzo powoli w pobliżu południka lokalnego. Sprawia to, że pomiar staje się wtedy mniej dokładny. Dlatego do określania czasu najlepiej użyć gwiazdy znajdującej się w pewnej odległości od południka.

Uwaga: Czas określany w opisany sposób to lokalny czas słoneczny. Aby otrzymać czas "zegarkowy" (czas strefowy) niezbędna jest odpowiednia korekta. Zadowalająca dokładność (ok. 30 minut) można otrzymać pamiętając tylko o uwzględnieniu urzędowej zmiany czasu. W przypadku Polski należy do wskazań przyrządu w okresie obowiązywania czasu letniego dodać 1 godzinę. Chcąc zwiększyć dokładność należy uwzględnić poprawkę wynikającą z równania czasu oraz długości geograficznej miejsca obserwacji.

Na koniec przykład zastosowania tajemniczego "kwadratu cienia". Wysokość słońca możemy określić także wykorzystując właśnie tę, znajdującą się na dorsum, część przyrządu.

Rozwiązanie: W czasach największej popularności astrolabium wzrost większości osób równy był w przybliżeniu sześciokrotnej długości ich stopy (pobieżna analiza tego problemu wskazuje, że teraz proporcja ta nieco się zmieniła). Załóżmy jednak, że wciąż jest tak jak dawniej i że Twój wzrost to sześciokrotność rozmiaru Twojej stopy. Możesz więc pełnić rolę gnomonu o wysokości 6 stóp (własnych � nie mylić z jednostką miary).

Rys. 8. Pomiar wysokości słońca przy użyciu własnego cienia

Wyznaczenie wysokości gwiazdy sprowadza się do wyliczenia wartości kąta α (patrz rys. 8) tworzonego przez koniec Twojego cienia oraz promienie słońca. Aby określić wysokość słońca wystarczy stanąć i zaznaczyć koniec rzucanego przez siebie cienia. Następnie trzeba zmierzyć długość tego cienia własnymi stopami, stawiając je jedna za drugą. Załóżmy teraz, że cień rzucany przez Ciebie ma długość 5 stóp. Dana jest więc długość cienia i wzrost osoby, która rzuca cień. Poszukiwany kąt można wyliczyć z prostych funkcji trygonometrycznych. Można także posłużyć się astrolabium. Z "kwadratu cienia", który bardzo często podzielony jest na dwie części, nas interesuje ta oznaczona wielokrotnościami liczby 6. Ustaw alidadę w taki sposób, aby jej krawędź wskazywała 5 (czyli długość cienia mierzoną wielokrotnością rozmiaru stopy) na kwadracie cienia. Przedłużenie alidady wskaże Ci, na odpowiedniej skali krawędzi dorsum, wysokość słońca.